Задача по геометрии (а сторонах AB, BC, CD, DA…). Как решить?

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки P, Q, R, S такие, что AP:PB=BQ:QC=CR:RD=DS:SA.

а) Докажите, что четырёхугольник PQRS — параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

б) Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, CS и DP образуется параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD. 

тэги:

геометрия,

домашнее задание,

задача по математике,

образование,

олимпиада,

школа

категория:

образование

ответить

комментировать

1 ответ:

старые выше
новые выше
по рейтингу

2

Груст­ный Родже­р
[486K]

2 месяца назад 

Рассмотрим треугольники APS и QCR. Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB = CD, a углы А и С равны. Поскольку AP:PB=CR:RD, то AP = CR, AS = QC. Тем самым треугольники APS и QCR равны — под двум сторонам и углу между ними. Аналогично можно доказать и равенство треугольников PBC и RDS. Так что мы получили четырёхугольник PQRS, у которого противоположные попарно стороны равны, а значит это параллелограмм.

Теперь докажем, что что точка пересечения его диагоналей совпадает с точкой пересечения диагоналей исходного треугольника (обозначим её через О). Для этого рассмотрим треугольники АРО и CRO. Тут опять можно доказать, что они равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма, углы РАО и RCO равны как внутренние накрест лежащие). Стало быть, углы РОА и COR равны. Но это означает, что угол между отрезками РО и OR — развёрнутый, поскольку угол между АО и ОС развёрнутый (АС, напомню, — диагональ, то есть кусок прямой). Значит, РО и OR вместе составляют одну прямую линию, то есть являются диагональю параллелограмма PQRS. Аналогично можно доказать, что и QS — тоже диагональ того же параллелограмма. И точка О получается общей точкой обоих параллелограммов.

Вся любовь.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Источник: bolshoyvopros.ru