Саша и Сережа дважды обменивались марками, причем каждый раз 1/7 количества марок, имевшихся (на момент обмена) у Саши, обменивалась на половину количества марок, имевшихся у Сережи. Сколько марок у Саши до первого обмена, если после первого обмена у Саши было 945 марок, а после второго обмена у Сережи ‐ 220?
(Ларин, тренировочный вариант № 475)
тэги:
егэ,
задача,
математика
категория:
образование
ответить
комментировать
1 ответ:
старые выше
новые выше
по рейтингу
5
Алекс-89
[173K]
2 месяца назад
Что поделаешь: знаменатели, кратные 7, будут сильно нам мешать, но мы справимся с этой трудностью. Давайте я обозначу для разнообразия количество Сашиных марок до первого обмена буквой q (собственное, это и есть наше главнейшее неизвестно!), а количество Серёжиных марок тоже до первого обмена — буквой r.
Сначала был первый делёж. Нам нужно сперва посмотреть, что́ при первом дележе случилось с Сашей.
Саша: у него было кю; минус одна седьмая кю, но при этом ещё и плюс одна вторая эр.
Итого у Саши после первого дележа вышло: q – ¹/₇q + ¹/₂r = ⁶/₇q + ¹/₂r. А по условию нам дано численное значение данного выражения. Оно равно 945. У нас образовалось первое уравнение: ⁶/₇q + ¹/₂r = 945. Правда, оставлять его в таком виде неудобно. Давайте умножим все его члены на НОК знаменателей — число 14 (они взаимно просты — значит, просто берём их произведение). После умножения на НОК знаменателей у нас получится наше уравнение А.
⁶/₇q + ¹/₂r = 945;
умножаем всё на 14;
А: 12q + 7r = 13 230.
Что там у Саши происходило при втором обмене, — это нас пока что не интересует! Морока со вторым обменом Саши (составлением выражения, зависящего от "кю" и от "эр") нас пока не касается, это было бы лишним в решении данной задачи.
А вот Серёжей заняться детально не мешает!
Первый делёж с точки зрения состояния Серёжи:
r + ¹/₇q – ¹/₂r = ¹/₇q + ¹/₂r.
Также мы узнали (см. выше), что у Саши после 1-го дележа стало ⁶/₇q + ¹/₂r марок.
При втором дележе Серёжа забрал одну седьмую часть от величины ⁶/₇q + ¹/₂r. Но при этой же операции он также отдал половину величины ¹/₇q + ¹/₂r, то есть Серёжа отдал Саше ¹/₂(¹/₇q + ¹/₂r). А ещё нам известен итоговый марочный баланс Серёжи после всей этой кутерьмы, и он равен двумстам двадцати маркам.
Потихоньку у нас составляется второе уравнение:
¹/₇q + ¹/₂r + ¹/₇(⁶/₇q + ¹/₂r) – ¹/₂(¹/₇q + ¹/₂r) = 220;
¹/₂(¹/₇q + ¹/₂r) + ¹/₇(⁶/₇q + ¹/₂r) = 220
<ибо для каждого очевидно, что равенство a – ¹/₂a = ¹/₂a есть истиннейшее тождество>;
¹/₁₄q + ¹/₄r + ⁶/₄₉q + ¹/₁₄r = 220.
Снова весьма негоже оставлять в таком виде, с дробями… Надо бы умножить всё на НОК знаменателей, на сей раз равное 4 * 49 = 196.
Итак, умножаем всё на 196 и после приведения подобных в левой части получим наше уравнение Б:
14q + 49r + 24q + 14r = 43 120;
Б: 38q + 63r = 43 120.
Вот и наша система, а дробных коэффициентов больше нет:
А: 12q + 7r = 13 230.
Б: 38q + 63r = 43 120.
Выражать из одного уравнения одно неизвестное через другое и подставлять во второе уравнение? Ну уж нет!.. Ибо снова появятся дробные коэффициенты. Лучше, конечно, алгебраическим сложением. Давайте умножим уравнение А на число 9, чтобы уравнять коэффициенты при "эр".
9А: 108q + 63r = 119 070.
И теперь можно вычитать:
9А – Б: 108q – 38q + 63r – 63r = 119 070 – 43 120;
70q = 75 950;
q = 75 950 : 70;
q = 1085.
Задачу мы решили. Но я хотел бы найти ещё, сколько марок было у Серёжи на начало всей этой небогоугодной затеи.
12q = 12 * 1085 = 13 020;
7r = 13 230 – 12q = 13 230 – 13 020 = 210;
r = 210 : 7;
r = 30.
Значит, у Саши в самом начале было целых 1085 марок, а у Серёжи всего-то навсего тридцать.
Первый обмен: Саша дал Серёже седьмую часть своих марок, то бишь 1085 : 7 = 155, а себе взял 15 Серёжиных. Итого Сашин баланс после 1-го обмена равен 1085 – 155 + 15 = 945 маркам. Серёжин же баланс после 1-го обмена равен 30 + 155 – 15 = 170 маркам.
Второй обмен: теперь 945 и 170, но операции как таковые те же… Саша даёт Серёже седьмую часть от своих, то есть 945 : 7 = 135 марок, но при этом забирает у Серёжи 85 его. Сашин баланс равен: 945 – 135 + 85 = 895 маркам. Серёжин баланс равен 170 + 135 – 85 = 220 маркам. Всё сходится!
Окончательный ответ: у Саши в самом начале, то есть ещё до первого обмена, было 1085 марок, а у Серёжи марочек на тот же момент было только 30.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Источник: